Wochenaufgaben Analysis

    Juhu, da freue ich mich jetzt :D . Also für die zweite Aufgabe habe ich für u das Ergebnis u= √ (3)*t. Der Kegel sollte sich im 1. Feld befinden. Mit diesem u wird das Volumen des Kegels maximal. Ich hoffe, das ist auch richtig.
    Ich habe jetzt aber schon wieder eine Frage :rolleyes: .
    Wie kann man die Punkte bestimmen durch die keine Kurve einer Funktion geht? Ich musste sowas bisher noch nie berechnen ?( . Vielen Dank.

    Dann kann ich mich ja heute echt freuen :D , aber nur dank deiner Hilfe!


    Na ja, zu der Funktion ft(x) = (2x)/(t^2+x^2) gibt es folgende Frage:


    "Gib einen Punkt P1 im 1. Feld an, durch den keine Kurve Kt geht. Kennzeichne im vorhandenen Achsenkreuz die Menge dieser Punkte durch eine Schraffur."


    Und ich hatte mich jetzt gefragt, wie man das unabhängig von dieser Funktion überhaupt berechnet.

    Mmmhh, also ich hab mir mal die Kurvenschar anzeigen lassen und weiß nun wie es aussieht.


    Vom Prinzip her muss man einen Graphen h(t) berechnen, der das Wandern eines "Extrempunktes", z.B. Wendepunkt oder Maxima, beschreibt.


    Muss aber mal kurz überlegen um das zu lösen.


    Achso man müsste schon den Wertebereich von t irgendwie eingrenzen bzw definieren.

    Also es kann sein das man die Gleichung anders interpretieren muss.


    also in der vor fx (t) = 2·x / (t^2+x^2)
    Und davon suchen wir das Maximum also den größten Y wert in abhängigkeit von t.


    Also fx (t) ableiten und Extrempunkte berechnen.


    Lsg.:
    t = 0 --> Maxima (was wir gesucht haben)
    t = ∞ --> Minima


    --> Die Grenzfunktion oder bezeichnen wir sie mal als "Maximalfunktion" ist 2·x / (0^2+x^2) = 2/x


    Die Ergebnisse für das Minimum stimmen auch mit den Graphen überein.


    P.S. ich glaub das hat was mit Isoklinen oder Trajektoren zu tun.
    Wo ist Interstar wenn man ihn braucht? :rolleyes:

    Nee, tut mir leid, ich habe versucht es zu verstehen, aber irgendwie weiß ich einfach nicht, was da jetzt wirklich berechnet wird bzw. werden muss ?( . Wenn ich jetzt t in die Funktion einsetze erhalte ich 1/t und diese abgeleitet ist -1/t^2. Diese Gleichung hat aber keine Nullstellen und das bedeutet wieder, dass ich keine Extremstellen berechnen kann. Oder muss ich einfach nur den Limes von 1/t bilden? Dann würde ich ja erhalten, dass, wenn t --> 0, ft (t) --> + ∞ strebt und dass, wenn t --> + ∞ , ft (t) --> 0 strebt. Das wäre ja in etwa der Graph, denn du mir bereit gestellt hattest. Aber ich verstehe jetzt daran nicht, warum man t in ft (x) einsetzen muss. Warum man das Maximum von t berechnen muss. Außerdem gehören doch bei der schraffierten Fläche trotzdem einige Punkte zur Kurve. ?(

    man setzt auch nicht t in ft (x) ein. du setzt garnichts ein. ich hab ja
    fx (t) = 2·x / (t^2+x^2) geschrieben.


    Eigentlich wird dein ft (x) ja f(x,t) genannt. Also eine von zwei Variablen abhängige Funktion.


    Du sollst nun nichts einsetzten.


    Du sollst nun einfach bestimmen wann die Funktionsschar in Abhängigkeit von t und nicht von x maximal wird.


    --> Maximum durch Ableitung ∂/ (∂·t) · (2·x/(t^2 + x^2)


    Warum das so gemacht wird müsste Interstar die erklären ich kann es derzeit nicht.


    Aber du kannst dir ja mal die Funktionsschar anschauen


    je kleiner t wird desto steiler wird f(x,t).

    Danke, jetzt habe ich das verstanden :rolleyes: . Ich habe jetzt auch f(x)=2/x als Grenzfunktion. Das heißt, dass ich die Fläche schraffieren muss, die über dieser Funktion liegt, oder? Vielen, vielen Dank für die große Hilfe :D !

    Also ich hab das mal mit der Funktion Sin(x+t) und auch mit CosH(x + t) gemacht.


    Beidesmal kommt man auf Funktionen die den Wertebereich der Ausgangsfunktion beschreiben. D.h. denk ich mal ist das alles richtig. Ich kanns nur nicht erklären ;(

    Zitat

    Original von Peachie:
    Na ja, zu der Funktion ft(x) = (2x)/(t^2+x^2) gibt es folgende Frage:


    "Gib einen Punkt P1 im 1. Feld an, durch den keine Kurve Kt geht. Kennzeichne im vorhandenen Achsenkreuz die Menge dieser Punkte durch eine Schraffur."


    Und ich hatte mich jetzt gefragt, wie man das unabhängig von dieser Funktion überhaupt berechnet.


    Zitat

    Original von Cepheiden:
    Maximum durch Ableitung ∂/ (∂·t) · (2·x/(t^2 + x^2)


    Warum das so gemacht wird müsste Interstar die erklären ich kann es derzeit nicht.


    Naja warum das so klappen soll, weiß ich auch nicht, aber ich habe für das Problem eine ganz einfache Methode.


    Und zwar muss man sich nur die Extremfälle für das t anschauen, also einmal t = ∞ und einmal t = 0.
    Dazu muss man den Limes bilden.
    Also ft(x) = (2x)/(t^2+x^2) -->


    lim ft(x) für t --> ∞ = 0


    lim ft(x) für t --> 0 = 2/x.


    Das bedeutet, dass zw. 0 und der Funktion 2/x ALLE Punkte durch die Funktionenschar ft(x) gehen. Die Funktion 2/x bildet sozusagen die Grenze von ft(x).
    D.h. alle Punke, die außerhalb dem Gebiet von y-Achse, x-Achse und 2/x liegen (auf den 1. Quadranten bezogen, Feld sagt man übrigens nicht) liegen niemals auf ft(x), also Kt.

    Ah ich sehe gerade, dass das Cepheiden schon so erklärt hat.


    Um die Grenzwert Punkte t = 0 und t = ∞ zu bekommen, kann man das durch überlegen machen, oder durch die Ableitung
    ∂ ft(x) / ∂t und diese dann 0 setzen.


    Du kannst dir das so vorstellen:
    Du musst die Minimale Funktion und die Maximale Funktion finden, die für ALLE Punkte x,y gilt, also nur von t abhängt.
    Deswegen musst du auch nach t ableiten. Das funktioniert genauso, wie die Ableitungen nach x.


    Wenn du ft(x) nach t ableitest und dann die 1. Ableitung = 0 setzt, und nach t berechnest, erhälst du 2 t-Werte.


    Diese beiden Werte in ft(x) eingesetzt, ergeben dann die beiden Grenzfunktionen, sozusagen die beiden äußeren Funktionen deiner Funktionenschar. Dazwischen befinden sich alle Funktion von ft(x), gehen also auch durch alle Punkte.


    Jetzt hat man also die beiden extremalen t-Werte, und kann nun den Grenzwert bilden (denn so kann man ∞ ja nicht für t einsetzen,weil man damit nicht rechnen kann).

    Vielen, vielen Dank, juhu, das habe ich jetzt auch verstanden :D ! Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen :)) .
    Eine letzte Frage noch, wie kann man einen Maßstab (in jeweils 100 l) für einen zylinderförmigen Öltank, der 1000 l auffassen kann, aufstellen, wenn man weder die Höhe h, noch den Radius r kennt? Da diese Aufgabe zum Newton-Verfahren gestellt wurde, stecke ich bei folgender Gleichung fest: r = √ (1000/( π *h)) . Diese Gleichung hatte keine Nullstellen und deswegen kann man auch nicht das Newton - Verfahren anwenden oder liege ich da falsch? Vielen, vielen Dank für all die Hilfe :)) !