Differenzquotienten

Also eine schöne Erklärung der Begriffe findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzenquotient

Differenzenquotient Δy/Δx :
Du suchst dir einen Punkt x₀, rechnest Δx und Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) zu einem anderen Punkt aus und bildest Δx / Δy . Das ist der Anstieg deiner Funktion f in dem Punkt x₀.

Wenn man das macht ergibt sich folgendes:

Δy/Δx =
(f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx
=(3(x₀ + Δx)^2 + 2(x₀ + Δx) - 3x₀^2 - 2x₀) / Δx
=6x₀ + 3Δx + 2

Setzt man jetzt einen speziellen Punkt x₀ und einen kleinen Abstand Δx ein, bekommt man den Anstieg in diesem Punkt (genauer, den Anstieg einer Sekante durch den Punkt x₀ und den Punkt x₀+ Δx. Das entpricht annähernd einer Tangente durch x₀)

Wenn man jetzt alle Punkte uns zugehörige Anstiege abtragen würde, bekommt man die 1.Ableitung heraus.

Da man nicht alle Punkte abtragen kann, ist es sinnvoller den Abstand Δx gegen 0 gehen zu lassen, um alle Punkte zu erfassen.

Das ist dann der Differentialquotient.
Also dy/dx = lim Δy/Δx für Δx --> 0

Wir nehmen also Δy/ Δx =6x₀ + 3Δx + 2 und bilden den Limes:

lim (6x₀ + 3Δx + 2 , Δx-->0) =
=6x₀ + 2
=6x + 2 (da x₀ hier kein spezieller Punkt mehr ist)

Und das ist dann genau deine 1.Ableitung.

Ist vielleicht ein bisschen schwierig zu verstehen, aber wenn du Fragen hast melde dich ruhig hier nochmal.
Das ist besser, als wenn ich hier komplett aushole.

Hinweis: Δy kann auch f(x) - f(x₀) heißen und Δx ist x - x₀.

ich hatte geschrieben:

Zitat

Hinweis: Δy kann auch f(x) - f(x0) heißen und Δx ist x - x0.

Das Δy und Δx ist nix weiter als eine Kurzbezeichung für das, was du schon kennst.
Hast dir mal den Link angeschaut? In der Grafik sieht man sehr schön was Δy und Δx ist. Es sind nämlich Differenzen, und zwar von den beiden y-Werten der Punkte und den beiden x-Werten der Punkte.

So jetzt zu deiner Rechnung:
(3x[UP]2[/UP] + 2x - 3x₀[UP]2[/UP] - 2x₀) / (x-x0) <-- so ist es richtig.
Das ist der Differenzenquotient. Jetzt musst du den Differentialquotienten bilden, indem du davon den Grenzwert bildest für Δx -->0, also bei dir für x-->x₀.

Also:

lim( (3x[UP]2[/UP] + 2x - 3x₀[UP]2[/UP] - 2x₀) / (x-x₀) , x-->x₀)

Wenn du das machst, kommt da 6x₀ + 2 raus.
Da der Punkt x₀ jetzt ein beliebiger Punkt deiner Funktion sein kann, kann man ihn auch wieder x nennen.

Der Limes ist allerdings etwas schwer auszurechnen, denn man sollte natürlich zum Ausrechnen nicht die Ableitung benutzen.

Daher ist mein Weg oben besser geeignet. Einfach mal in Ruhe anschauen und auch die Grafik beim Link ansehen.
Wenn du im Kopf hast, dass Δx = x - x₀ ist, dann dürfte dir der Weg auch nicht so schwer fallen.
Ist ja eigentlich das selbst was du machst, nur mit anderen Bezeichnern.

So darfst du da nicht rechnen, weil beim limes dann im Zähler UND Nenner 0 steht. Deswegen kannst du das nicht so einfach ausrechnen. Das geht über spezielle Regeln (l'Hospital z.B.). die kannst du aber nicht verwenden, weil das über die 1. Ableitung geht. Und die willst du ja erst berechnen.

Man kann deinen Term speziell umformen, und zwar so, dass im Zähler nur noch Terme der Art x-x₀ und x₀ auftauchen. Das ist aber etwas aufwendig und ist genau!!! das selbe wie meine Rechnung oben. Bei mir ist dann bloß x-x₀ = Δx.

ich hatte geschrieben:

Zitat

Δy/Δx = (f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx =(3(x₀ + Δx)^2 + 2(x₀ + Δx) - 3x₀^2 - 2x₀) / Δx

setze für Δx = x - x₀ ein und du erhälst:

(3(x₀ + x - x₀)^2 + 2(x0 + x - x₀) - 3x0^2 - 2x0) / (x - x₀)
= 3x^2 + 2x - 3x₀ - 2x₀

Das ist jetzt dein Term. Nur das du hier das Problem mit dem Limes hast, und ich nicht. Wegen dem Trick mit dem Δx.

Ich kann ja gern mal den Schritt von
(3(x₀ + Δx)^2 + 2(x₀ + Δx) - 3x₀^2 - 2x₀) / Δx bis zu
=6x₀ + 3Δx + 2 erklären, wenn du möchtest.
Ist aber eigentlich nur formales Rechnen.

steht eigentlich schon alles oben

(f(x) - f(x0)) / x - x0
=(f(x0 + Δx) - f(x0)) / Δx
=(3(x0 + Δx)^2 + 2(x0 + Δx) - 3x0^2 - 2x0) / Δx
=6x0 + 3Δx + 2

und dann den limes Δx-->0 bilden

Hmm, also diese Umformung ist relativ schreibaufwendig.

Das beste ist doch folgendes:
Du nimmst deinen Ansatz:
(f(x) - f(x₀)) / x - x₀, jetzt definierst du
Δx = x - x₀ --> x = x₀ + Δx und setzt ein.

Dann erhälst du
(f(x₀ + Δx ) - f(x₀)) / (x₀ + Δx - x₀)
= (f(x₀ + Δx ) - f(x₀)) / Δx

Und dann rechnest du so wie ich das gemacht habe.

(f(x) - f(x₀)) / x - x₀
=(f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx
=(3(x₀ + Δx)^2 + 2(x₀ + Δx) - 3·x₀^2 - 2·x₀) / Δx
=(3·x₀^2 + 6·x₀·Δx+ 3·Δx^2 + 2(x₀ + Δx) - 3·x₀^2 - 2·x₀) / Δx
=6·x₀ + 3·Δx + 2

lim ( 6·x₀ + 3·Δx + 2 , Δx --> 0)
= 6·x₀ + 2
= 6·x + 2

Also wir sind jetzt hier:
(f(x₀ + Δx) - f(x₀)) / Δx
=(3(x₀ + Δx)^2 + 2(x₀ + Δx) - 3x₀^2 - 2x₀) / Δx
--> ausmultiplizieren

= ( 3x₀[UP]2[/UP] + 6x₀Δx + 3Δx[UP]2[/UP] + 2x₀ + 2Δx - 3x₀[UP]2[/UP] - 2x₀ ) / Δx

= ( 6x₀Δx + 3Δx[UP]2[/UP] + 2Δx ) / Δx

= 6x₀ + 3Δx + 2

Das ist jetzt dein Differenzenquotient.

Den Limes Δx --> 0 bilden und der Δx Term fliegt raus.

Übrig bleibt der 6x₀ + 2.
x₀ durch x ersetzen, weil es ein allgemeiner Punkt ist .

Fertig.